Чтобы судить о возможностях электротехнических устройств, принимающих и передающих входные воздействия, прибегают к исследованию их переходных и импульсных характеристик.

Переходная характеристика h (t ) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения в виде единичной ступенчатой функции 1(t ) или 1(t – t 0) при нулевых начальных условиях (рис. 14). Размерность переходной характеристики равна отношению размерности реакции к размерности воздействия. Она может быть безразмерной, иметь размерность Ом, Сименс (См).

Рис. 14

Импульсная характеристика k (t ) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса в виде d(t ) или d(t – t 0) функции при нулевых начальных условиях. Ее размерность равна отношению размерности реакции к произведению размерности воздействия на время, поэтому она может иметь размерности с –1 , Омс –1 , Смс –1 .

Импульсную функцию d(t ) можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции d(t ) = d 1(t )/dt . Соответственно, импульсная характеристика всегда является производной по времени от переходной характеристики: k (t ) = h (0 +)d(t ) + dh (t )/dt . Эту связь используют для определения импульсной характеристики. Например, если для некоторой цепи h (t ) = 0,7e –100t , то k (t ) = 0,7d(t ) – 70e –100 t . Переходную характеристику можно определить классическим или операторным методом расчета переходных процессов.

Между временными и частотными характеристиками цепи существует связь. Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции цепи: Y (s ) = W (s )X (s ), т.е. передаточная функция содержит полную информацию о свойствах цепи как системы передачи сигналов от ее входа к выходу при нулевых начальных условиях. При этом характер воздействия и реакции соответствуют тем, для которых определена передаточная функция.

Передаточная функция для линейных цепей не зависит от вида входного воздействия, поэтому она может быть получена из переходной характеристики. Так, при действии на входе единичной ступенчатой функции 1(t ) передаточная функция с учетом того, что 1(t ) = 1/s , равна

W (s ) = L [h (t )] / L = L [h (t )] / (1/s ), где L [f (t )] - обозначение прямого преобразования Лапласа над функцией f (t ). Переходная характеристика может быть определена через передаточную функцию с помощью обратного преобразования Лапласа, т.е. h (t ) = L –1 [W (s )(1/s )], где L –1 [F (s )] - обозначение обратного преобразования Лапласа над функцией F (s ). Таким образом, переходная характеристика h (t ) представляет собой функцию, изображение которой равно W (s ) /s .

При действии на вход цепи единичной импульсной функции d(t ) передаточная функция W (s ) = L [k (t )] / L = L [k (t )] / 1 = L [k (t )]. Таким образом, импульсная характеристика цепи k (t ) является оригиналом передаточной функции. По известной операторной функции цепи с помощью обратного преобразования Лапласа можно определить импульсную характеристику: k (t ) W (s ). Это означает, что импульсная характеристика цепи единственным образом определяет частотные характеристики цепи и наоборот, так как

W (j w) = W (s ) s = j w . Поскольку по известной импульсной характеристике можно найти переходную характеристику цепи (и наоборот), то последняя тоже однозначно определяется частотными характеристиками цепи.

Пример 8. Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи (рис. 15) для входного тока и выходного напряжения при заданных параметрах элементов: R = 50 Ом, L 1 = L 2 = L = 125 мГн,
С = 80 мкФ.

Рис. 15

Решение. Примéним классический метод расчета. Характеристическое уравнение Z вх = R + pL +
+ 1 / (pC ) = 0 при заданных параметрах элементов имеет комплексно-сопряженные корни: p 1,2 =
= – d j w A 2 = – 100 j 200, что определяет колебательный характер переходного процесса. В этом случае законы изменения токов и напряжений и их производных в общем виде записывают так:

y (t ) = (M сosw A 2 t + N sinw A 2 t )e – d t + y вын; dy (t ) / dt =

=[(–M d + N w A 2) сos w A 2 t – (M w A 2 + N d)sinw A 2 t ]e – d t + dy вын / dt , где w A 2 - частота свободных колебаний; y вын - вынужденная составляющая переходного процесса.

Вначале найдем решение для u C (t ) и i C (t ) = C du C (t ) / dt , воспользовавшись вышеприведенными уравнениями, а затем по уравнениям Кирхгофа определим необходимые напряжения, токи и, соответственно, переходные и импульсные характеристики.

Для определения постоянных интегрирования необходимы начальные и вынужденные значения указанных функций. Их начальные значения известны: u C (0 +) = 0 (из определения h (t ) и k (t )), так как i C (t ) = i L (t ) = i (t ), то i C (0 +) = i L (0 +) = 0. Вынужденные значения определим из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа для t 0 + : u 1 = R i (t ) + (L 1 + L 2) i (t ) / dt + u C (t ), u 1 = 1(t ) = 1 = сonst,

отсюда u C () = u C вын = 1, i C () = i C вын = i () = 0.

Составим уравнения для определения постоянных интегрирования M , N :

u C (0 +) = M + u C вын (0 +), i C (0 +) = С (–M d + N w A 2) + i C вын (0 +); или: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; отсюда: M = –1, N = –0,5. Полученные значения позволяют записать решения u C (t ) и i C (t ) = i (t ): u C (t ) = [–сos200t – -0,5sin200t )e –100t + 1] B, i C (t ) = i (t ) = e –100 t ] = 0,02
sin200t )e –100 t A. Согласно второму закону Кирхгофа,

u 2 (t ) = u C (t ) + u L 2 (t ), u L 2 (t ) = u L (t ) = Ldi (t ) / dt = (0,5сos200t – 0,25sin200t ) e –100t B. Тогда u 2 (t ) =

=(–0,5сos200t – 0,75sin200t ) e –100t + 1 = [–0,901sin(200t + 33,69) e –100t + 1] B.

Проверим правильность полученного результата по начальному значению: с одной стороны, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, а с другой стороны, u 2 (0 +) = u С (0 +) + u L (0 +) = 0 + 0,5 - значения совпадают.

Импульсная (весовая) характеристика или импульсная функция цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равная реакции цепи на единичное импульсное воздействие на ее входе при нулевых начальных условиях (рис. 13.14); другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на дельта-функцию Дирана
на ее входе.

Функцию
можно определить, рассчитав переходную
или передаточную
функцию цепи.

Расчет функции
с использованием переходной функции цепи. Пусть при входном воздействии
реакцией линейной электрической цепи является
. Тогда в силу линейности цепи при входном воздействии, равном производной
, реакция цепи будет равна производной
.

Как отмечалось, при
, реакция цепи
, а если
, то реакция цепи будет
, т.е. импульсная функция

Согласно свойству выборки
произведение
. Таким образом, импульсная функция цепи

. (13.8)

Если
, то импульсная функция имеет вид

. (13.9)

Следовательно, размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, поделенной на время.

Расчет функции
с использованием передаточной функции цепи. Согласно выражению (13.6), при воздействии на вход функции
, откликом функции будет переходная функция
вида:

.

С другой стороны, известно, что изображение производной функции по времени
, при
, равно произведению
.

Откуда
,

или
, (13.10)

т.е. импульсная характеристика
цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной
функции.

Пример. Найдем импульсную функцию цепи, схемы замещения которой представлены на рис. 13.12, а ; 13.13.

Решение

Переходная и передаточная функции этой цепи били получены ранее:

Тогда, согласно выражению (13.8)

где
.

График импульсной характеристики
цепи представлен на рис. 13.15.

Выводы

Импульсная характеристика
введена по тем же двум причинам, что и переходная характеристика
.

1. Единичное импульсное воздействие
– скачкообразное и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. импульсную характеристику
.

2. При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная
вычислить реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение (см. далее пп. 13.4, 13.5).

4. Интеграл наложения (дюамеля).

Пусть произвольный пассивный двухполюсник (рис. 13.16, а ) подключается к источнику непрерывно изменяющегося с момента
напряжения(рис. 13.16,б ).

Требуется найти ток (или напряжение) в любой ветви двухполюсника после замыкания ключа.

Задачу решим в два этапа. Сначала искомую величину найдем при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения, который задается единичной ступенчатой функцией
.

Известно, что реакцией цепи на единичный скачок является переходная характеристика (функция)
.

Например, для
– цепи переходная функция по току
(см. п.2.1), для
– цепи переходная функция по напряжению
.

На втором этапе непрерывно изменяющееся напряжение
заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками
(см. рис. 13.16б ). Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при
постоянного напряжения
, а затем как включение элементарных постоянных напряжений
, смещенных относительно друг друга на интервалы времени
и имеющих знак плюс для возрастающей и минус для падающей ветви заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент от постоянного напряжения
равна:

.

Составляющая искомого тока от элементарного скачка напряжения
, включаемого в момент времениравна:

.

Здесь аргументом переходной функции является время
, поскольку элементарный скачок напряжения
начинает действовать на времяпозднее замыкания ключа или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментомначала действия этого скачка и моментом времениравен
.

Элементарный скачок напряжения

,

где
– масштабный коэффициент.

Поэтому искомая составляющая тока

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от
до момента, для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при
, и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения
, получаем:

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения

(13.11)

называется интегралом наложения (суперпозиции) или интегралом Дюамеля (первой формой записи этого интеграла).

Аналогично решается задача при подключении цепи и источнику тока. Согласно этому интегралу реакция цепи, в общем виде,
в некоторый моментпосле начала воздействия
определяется всей той частью воздействия, которая имела место до момента времени.

Заменой переменных и интегрированием по частям можно получить другие формы записи интеграла Дюамеля, эквивалентные выражению (13.11):

Выбор формы записи интеграла Дюамеля определяется удобством расчета. Например, в случае, если
выражается экспоненциальной функцией, удобной оказывается формула (13.13) или (13.14), что обуславливается простотой дифференцирования экспоненциальной функции.

При
или
удобно применять форму записи, в которой слагаемое перед интегралом обращается в нуль.

Произвольное воздействие
может быть представлено также в виде суммы последовательно включаемых импульсов, как это изображено на рис. 13.17.

При бесконечно малой длительности импульсов
получим формулы интеграла Дюамеля, аналогичные (13.13) и (13.14).

Эти же формулы можно получить из соотношений (13.13) и (13.14), заменив а них производную функцию
импульсной функцией
.

Вывод.

Таким образом, на основе формул интеграла Дюамеля (13.11) – (13.16) и временных характеристик цепи
и
могут быть определены временные функции откликов цепи
на произвольные воздействия
.

Переходная характеристика используется при расчете реакции линейной электрической цепи, когда на ее вход подается импульс
произвольной формы. При этом входной импульс
аппроксимируют множеством ступенек и определяют реакцию цепи на каждую ступеньку, а затем находят интегральную цепи
, как сумму реакций на каждую составляющую входного импульса
.

Переходная характеристика или переходная функция
цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равной реакции цепи на единичный скачок напряжения или тока на ее входе, при нулевых начальных условиях (рис. 13.11);

другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на функцию
на входе.

Выражение переходной характеристики
зависит только от внутренней структуры и значения параметров элементов цепи.

Из определения переходной характеристики цепи следует, что при входном воздействии
реакция цепи
(рис. 13.11).

Пример. Пусть цепь подключается к источнику постоянного напряжения
. Тогда входное воздействие будет иметь вид, реакция цепи – , а переходная характеристика цепи по напряжению –
. При

.

Умножение реакции цепи
на функцию
или
означает, что переходная функция
при
и
при
, что отражаетпринцип причинности в линейных электрических цепях, т.е. отклик (на выходе цепи) не может появиться раньше момента приложения сигнала к входу цепи.

Виды переходной характеристик.

Различают следующие виды переходной характеристики:

(13.5)	– переходная характеристика цепи по напряжению;
	– переходная характеристика цепи по току;
	– переходное сопротивление цепи, Ом;
	– переходная проводимость цепи, См,

где
– уровни входного ступенчатого сигнала.

Переходную функцию
для любого пассивного двухполюсника можно найти классическим или операторным методом.

Расчет переходной характеристики классическим методом. Пример.

Пример. Рассчитаем переходную характеристику по напряжению для цепи (рис. 13.12, а ) с параметрами .

Решение

Воспользуемся результатом, полученном в п.11.4. Согласно выражению (11.20) напряжение на индуктивности

где
.

Проведем масштабирование согласно выражению (13.5) и построение функции
(рис. 13.12,б ):

.

Расчет переходной характеристики операторным методом

Комплексная схема замещения исходной цепи примет вид на рис. 13.13.

Передаточная функция этой цепи по напряжению:

где
.

При
, т.е. при
, изображение
, а изображение напряжения на катушке
.

В этом случае оригинал
изображения
есть переходная функция цепи по напряжению, т.е.

или в общем виде:

, (13.6)

т.е. переходная функция
цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции
, умноженной на изображение единичного скачка .

В рассматриваемом примере (см. рис. 13.12) передаточная функция по напряжению:

где
, а функция
имеет вид .

Примечание . Если на вход цепи подано напряжение
, то в формуле переходной функции
время необходимо заменить на выражение
. В рассмотренном примере запаздывающая передаточная функция по напряжению имеет вид:

Выводы

Переходная характеристика введена, в основном, по двум причинам.

1. Единичное ступенчатое воздействие
– скачкообразное, и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. переходную характеристику
.

2. При известной переходной характеристике
с помощью интеграла Дюамеля (см. далее пп.13.4, 13.5) можно определить реакцию системы или цепи при любой форме внешних воздействий.

Интеграл Дюамеля.

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую - как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

.

(1)

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Исходные данные для расчета: , , .

1. Переходная проводимость

.

18. Передаточная функция .

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

Звено, описываемое уравнением или уравнениями в символической или операторной форме записи можно охарактеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией по входной величине u; и передаточной функцией по входной величине f.

и

Используя передаточные функции, уравнение записывают в виде . Это уравнение представляет собой условную более компактную запись форму записи исходного уравнения.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточные функции в форме изображений Лапласа и операторной форме с точностью до обозначений совпадают. Передаточную функцию в форме, изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку p=s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала - символическому умножению оригинала на p - при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем), т.е. только при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим простую RLC (последовательно) цепь, её передаточная функция W(p)=U ВЫХ /U ВХ

Интеграл Фурье.

Функция f (x ), определенная на всей числовой оси называется периодической , если существует такое число, что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т .

2) Если функция f (x ) период Т , то функция f (ax )имеет период .

3) Если f (x )- периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f (x ) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:(1)

То это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

где n =1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье .

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f (x ), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n =1,2, . . .)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где .

Частотные функции.

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом .

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Учтем, что

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

W(j ), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией . Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на j в выражении W(p).

W(j ) есть комплексная функция, поэтому:

где P() - вещественная ЧХ (ВЧХ) ; Q() - мнимая ЧХ (МЧХ) ; А() - амплитудная ЧХ (АЧХ) : () - фазовая ЧХ (ФЧХ) . АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

;

Если W(j ) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от 0 до + его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j ), или амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48).

Ветвь АФЧХ при изменении от - до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L() и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) ().

Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L() = 20lgA(). Величина L() откладывается по оси ординат в децибелах .

Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

lg(P 2 /P 1) = lg(A 2 2 /A 1 2) = 20lg(A 2 /A 1).

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой . Так как lg(0) = - , то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина () откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: - + .

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

Обратные связи.

Принято считать, что звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на вход. При этом, если сигнал обратной связи вычитается из входного воздействия (), то обратную связь называют отрицательной. Если сигнал обратной связи складывается с входным воздействием (), то обратную связь называют положительной.

Передаточная функция замкнутой цепи с отрицательной обратной связью - звена, охваченного отрицательной обратной связью,- равна передаточной функции прямой цепи , деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи

Передаточная функция замкнутой цепи с положительной обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу минус передаточная функция разомкнутой цепи

22. 23. Четырёхполюсники .

При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников.

Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными.

Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов.

В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии.

Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением (см. рис. 1,а).

В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление источником с напряжением (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать

Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.

Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника

Форма	Уравнения	Связь с коэффициентами основных уравнений
А-форма	; ;
Y-форма	; ;	; ; ; ;
Z-форма	; ;	; ; ; ;
Н-форма	; ;	; ; ; ;
G-форма	; ;	; ; ; ;
B-форма	; .	; ; ; .

Характеристическое сопротивление и коэффициент
распространения симметричного четырехполюсника

В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е.

.

Это сопротивление обозначают как и называют характеристическим сопротивлением симметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо

,

Импульсной характеристикой (весовой функцией) называется реакция системы на единичный бесконечный импульс (дельта-функцию или функцию Дирака) при нулевых начальных условиях. Дельта-функция определяется равенствами

, .

Это обобщенная функция – математический объект, представляющий собой идеальный сигнал, никакое реальное устройство не способно его воспроизвести. Дельта-функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса единичной площади с центром в точке при стремлении ширины импульса к нулю.

Теперь нам нужно проанализировать пределы этой суммы. Итак, мы должны использовать интегралы для правильного понимания этого типа системы. Для этого нам нужна свертка! Предположим для этой задачи, что \\ больше нуля. Попробуйте выполнить следующие две функции.

,

где – передаточная функция системы, которая является преобразованием Лапласа для. Импульсная характеристика системы с одним интегратором стремится к постоянной величине, равной статическому коэффициенту передачи системы без интегратора. Для системы с двумя интеграторами импульсная характеристика асимптотически стремится к прямой, с тремя интеграторами – к параболе и т.д.

Соответствующим дискретным сигналом является последовательность. Рассмотрим преобразование Фурье непрерывного сигнала. Аппроксимация преобразования Фурье получается из дискретного сигнала методом прямоугольников.

Когда сумма остановлена ​​в конечном ранге, мы находим.

Линейная система с конечной импульсной характеристикой

Эта система называется причинной, поскольку состояние выхода зависит только от предыдущих состояний входа. Дискретный сигнал, определяемый.

Для входного импульса линейная система выводит сигнал.

Следует отметить, что выходной сигнал является результатом свертки входного сигнала импульсной характеристикой.

8. Временной метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях

8.1. Переходные и импульсные характеристики электрических цепей

В основе временного метода лежит понятие переходной и импульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции (7.19). Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции (d-функции) (7.21). Обозначается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t ) определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмерными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Эта система представляет собой фильтр с конечным импульсным откликом.

Который является дискретным преобразованием Фурье импульсной характеристики. Рассмотрим в качестве простого примера фильтр, реализующий среднее арифметическое двух последовательных значений ввода.

Использование понятий переходной и импульсной характеристик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульсной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи находится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ).

Средний фильтр - фильтр нижних частот. Фазовый сдвиг линейно изменяется с частотой. Это подтверждается следующим выражением частотной характеристики . Чтобы имитировать действие этого фильтра на сигнал, рассмотрите следующий непрерывный сигнал и его выборку.

Чтобы получить отфильтрованный дискретный сигнал, достаточно выполнить свертку с импульсной характеристикой. Для линейного фазового фильтра фазовый сдвиг является линейной функцией частоты. Таким образом, частотная характеристика имеет следующий вид.

Все частоты сигнала подвергаются одному и тому же сдвигу τ при прохождении через фильтр. τ - время распространения.

Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t (см. рис. 7.4):

т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение (8.1) сохраняется и для импульсных и переходных реакций цепи

Форма сигнала не изменяется с помощью полосовой фильтрации. Выделяя термин, содержащий фазу, частотная характеристика записывается в соответствии с выражением. После изменения переменной в сумме выводится выражение коэффициента усиления. Написан частотный отклик. Учитывая предел, получим.

Получен линейный фазовый фильтр с бесконечной импульсной характеристикой. Этот метод эквивалентен применению прямоугольного окна к коэффициентам Фурье.

Коэффициенты Фурье этой функции.

Результат может быть выражен с помощью синусовой кардинальной функции и зависит только от отношения частоты среза к частоте дискретизации.

т. е. импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи.

Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нулевые начальны е условия для цепи). Еслиже g (0) ¹ 0, то представив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для получения частотной характеристики используется следующая функция. Здесь приведен график усиления и фазы фильтра. Можно видеть, что фаза действительно линейна в полосе пропускания, но усиление имеет очень сильные волнистости. В аттенюированной полосе имеются разрывы π фазы. Разумеется, различия в отношении желаемой передаточной функции обусловлены усечением импульсной характеристики.

Попробуем усечение окном Ханна. Волны в полосе пропускания и в аттенюированной полосе значительно уменьшены. Линейность фазы в полосе пропускания всегда обеспечивается. Если задержка τ должна оставаться фиксированной, частота дискретизации должна быть увеличена одновременно. Отбирается сигнал с шумом.

Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода состоит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным методом .

Пример. Найдем классическим методом переходную характеристику по напряжению для цепи, изображенной на рис. 8.1. Численно g u (t ) для данной цепи совпадает с напряжением на емкости при подключении ее в момент t = 0 к источнику напряжения U 1 = l В:

Закон изменения напряжения u C (t ) определяется уравнением (6.27), где необходимо положить U = l В:

При нахождении характеристик g (t ) и h (t ) операторным методом пользуются изображениями функций 1(t ), d(t ) и методикой расчета переходных процессов, изложенных в гл. 7.

Пример. Определим операторным методом переходную характеристику g u (t ) RС -цепи (см. рис. 8.1). Для данной цепи в соответствии с законом Ома в операторной форме (7.35) можем записать:

Окончательно получаем

Отсюда по теореме разложения (7.31) находим

т. е. то же значение, что и полученное классическим методом.

Следует отметить, что величина I (р ) в уравнении (8.4) численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изображение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи

Например, для RС -цепи (см. рис. 8.1) имеем:

Применив к Y (p ) теорему разложения (7.30), получим:

Следует отметить, что формула (8.5) определяет свободную составляющую реакции цепи при единичном импульсном воздействии. В общем случае в реакции цепи, кроме экспоненциальных составляющих свободного режима при t > 0 присутствует импульсное слагаемое, отображающее воздействие при t = 0 единичного импульса. Действительно, если учесть, что для RС -контура (см. рис. 8.1) переходная характеристика по току при U = 1(t ) согласно (6.28) будет

то после дифференцирования (8.6) согласно (8.2) получаем импульсную характеристику RС -цепи h i (t ) в виде

т. е. реакция h i (t ) содержит два слагаемых - импульсное и экспоненциальное.

Физический смысл первого слагаемого в (8.7) означает, что при t = 0 в результате воздействия на цепь импульсного напряжения d(t ) зарядный ток мгновенно достигает бесконечно большого значения, при этом за время от 0 – до 0 + элементу емкости передается конечный заряд и она скачком заряжается до напряжения I /RC . Второе слагаемое определяет свободный процесс в цепи при t > 0 и обусловлено разрядом конденсатора через короткозамкнутый вход (так как при t > 0 d(t ) = 0, что равносильно КЗ входа) с постоянной времени t = RC . Из этого следует, что при d(t )-импульсном воздействии на RС -цепь нарушается непрерывность заряда на емкости (второй закон коммутации). Аналогично нарушается и условие непрерывности тока в индуктивности (первый закон коммутации), если к цепи, содержащей элемент индуктивности воздействовать напряжением в виде d(t ).

В табл. 8.1 сведены значения переходной и импульсных характеристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.

8.2. Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать приложенное воздействие f 1 (t ) с помощью единичных функций, сдвинутых относительно друг друга на время Dt (рис. 8.2).

Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится как

Результирующая реакция цепи на систему ступенчатых воздействий найдется, исходя из принципа наложения:

где п - число аппроксимирующих участков, на которые разбит интервал 0 ... t . Домножив и разделив выражение, стоящее под знаком суммы, на Dt и перейдя к пределу с учетом того получим одну из форм интеграла Дюамеля:

Уравнение (8.8) отражает реакцию цепи на заданное воздействие, поскольку аппроксимирующая функция стремится к исходной.

Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена с помощью теоремы свертки (см.): , б), затем определяется классическим или операторным методом реакция цепи при включении рассматриваемой ветви к активному двухполюснику (рис. 8.4, в ). Результирующая реакция находится как сумма реакций: .

8.3. Интеграл наложения

При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложения используется импульсная характеристика цепи h (t ). Для получения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f 1 (t ) с помощью системы единичных импульсов длительности d t, амплитуды f 1 (t) и площади f 1 (t)d t (рис. 8.5). Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов

Используя принцип наложения, нетрудно получить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:

Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения . Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью (8.3) между импульсной h (t ) и переходной g (t ) характеристиками цепи. Подставив, например, значение h (t ) из (8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свойства d-функции (7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).

Пример. На вход RС -цепи (см. рис. 8.1) подается скачок напряжения U 1 . Определить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения (8.12) и Дюамеля (8.11).

Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): h u (t ) = = (1/RC)e –t / RC . Тогда, подставляя h u (t – t) = (1/RC)e –( t– t)/ RC в формулу (8.12), получаем:

Аналогично результат получаем при использовании переходной функции данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):

Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета времени, то интеграл (8.12) принимает вид

Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляютсобойсвертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории передачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f 1 (t) как бы взвешивается с помощью функции h (t- t): чем медленнее убывает со временем h (t ), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблюдения значение входного воздействия.

На рис. 8.6, а показан сигнал f 1 (t) и импульсная характеристика h (t- t), являющаяся зеркальным отображением h (t), а на рис. 8.6, б приведена свертка сигнала f 1 (t) с функцией h (t- t) (заштрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t .

Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t 1 и импульсной характеристики t h . Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался импульсная характеристика цепи должна стремиться к d-функции.

Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что импульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию

Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того должно выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:

Если входное воздействие имеет сложную форму или задается графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла свертки (8.12) применяют графоаналитические способы.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дать определения переходной и импульсной характеристик цепи.

2. Указать связь между импульсной и переходной характеристиками.

3. Как определить переходную и импульсную характеристику цепи?

4. В чем отличие переходных характеристик, объяснить их физический смысл.

5. Как определить, какую из четырех разновидностей переходных или импульсных характеристик необходимо применить в каждом конкретном случае при расчете реакции цепи?

6. В чем заключается сущность расчета переходных процессов с использованием g (t ) и h (t )?

7. Как определить реакцию цепи, если воздействие имеет сложную форму?

8. Каким условиям должна удовлетворять цепь при использовании интеграла Дюамеля?

9. Приведите другую форму интеграла наложения, отличную от (8.12).

10. Расчет реакции цепи с использованием интегралов Дюамеля и наложения приводит к одинаковым результатам или разным?

11. Определить переходную проводимость цепи, образованной сопротивлением и индуктивностью, включенными последовательно.

12. Определить цепи, образованной сопротивлением и емкостью, включенными последовательно.

Ответ: .

13. Получить третью форму интеграла Дюамеля (8.10) из уравнения свертки (8.10).